Introduction à la théorie de Galois

La théorie de Galois est née au  XIX^e siècle pour étudier l'existence de formules pour les solutions d'une équation polynomiale (en fonction des coefficients de l'équation). Cette théorie, à la fois puissante et élégante, fut à l'origine d'un pan entier de l'algèbre moderne, et a depuis connu un développement considérable. Elle demeure un sujet de recherche extrêmement actif.

L'objet de ce cours est dans un premier temps d'introduire les bases et outils d'algèbre générale (groupes, anneaux, algèbres, quotients, extension de corps...) qui permettront ddans une deuxième temps de dévelloper la théorie de Galois, ainsi que certaines des ses applications les plus remarquables.

Au-delà de l'intérêt propre du sujet, le cours se veut être une bonne introduction à l'algèbre et à ses diverses applications, tant en mathématiques que dans d'autres disciplines (informatique avec les corps finis, physique ou chimie avec la théorie des groupes par exemple).

Ainsi aucun prérequis n'est nécessaire.

Ce livre est issu d'un cours donné à l'École polytechnique par le second auteur, puis par le premier. Un des points importants de ce cours est la méthode de réduction modulo pour le calcul des groupes de Galois, traitée dans ce livre. Le livre contient également un recueil de sujets d'examen donné aux élèves polytechniciens, accompagnés de leurs corrigés.